RSS
 

Wahadło matematyczne i fizyczne

10 Cze 2012

Wahadło matematyczne oraz wahadło fizyczne to przykłady oscylatora harmonicznego, którego drgania zachodzą w płaszczyźnie pionowej, pod wpływem siły grawitacji. Na początku zajmiemy się omówieniem wahadła matematycznego tj. wahadła mającego postać ciała o masie m zawieszonego na jednym z końców nierozciągliwej linki o znikomej masie i o długości L, której drugi koniec zamocowany jest w stałym punkcie. Przykładem takiego wahadła jest układ ciężarek - linka przedstawiony na poniższym rysunku, wykonujący drgania w płaszczyźnie pionowej w kierunku z lewa na prawą.


Wahadło matematyczne - rozkład sił


Zgodnie z poniższym rysunkiem siłami działającymi na ciężarek są siła naprężenia linki Fl oraz siła ciężkości Fg, skierowana równolegle do linii przerywanej oznaczającej położenie równowagi układu ciężarek - linka. Po rozłożeniu siły Fg na składowe otrzymujemy składową radialną Fg cosφ, skierowaną przeciwnie do siły Fl oraz składową Fg sinφ - styczną do toru ruchu ciężarka. Podobnie jak w przypadku wahadła torsyjnego, także i w tym przypadku na ciężarek wykonujący drgania działa moment siły M, dążący do przywrócenia położenia równowagi ciężarka, o wartości:

moment siły - wahadło matematyczne - wahadło matematyczne i fizyczne

Za powstanie momentu siły M, działającego przeciwnie do wychylenia ciężarka (stąd znak minus w powyższym wyrażeniu), odpowiada składowa Fg sinφ. W przybliżeniu małych kątów (φ ≤ 5o), tj. drgań o małej amplitudzie, częstość kołową ω oraz okres T drgań wahadła matematycznego możemy wyznaczyć korzystając z poniższych wzorów:

częstość kołowa drgań wahadła matematycznego - wzór ogólny - wahadło matematyczne i fizyczne
oraz:
okres drgań wahadła matematycznego - wzór ogólny - wahadło matematyczne i fizyczne
gdzie m to masa ciężarka, g - przyspieszenie ziemskie, L - odległość dzieląca punkt zawieszenia wahadła od środka jego masy równa długości linki, I - moment bezwładności wahadła względem jego punktu zawieszenia.

wahadło matematyczne - rysunek schematyczny - wahadło matematyczne i fizyczne

Wahadło matematyczne.


Częstość kołowa i okres drgań wahadła matematycznego - wzór


Zapisując moment bezwładności wahadła jako I = m L2 otrzymamy:

częstość kołowa drgań wahadła matematycznego - podstawienie - wahadło matematyczne i fizyczne
oraz:
okres drgań wahadła matematycznego - podstawienie - wahadło matematyczne i fizyczne

Zasadniczą różnicą pomiędzy wahadłem matematycznym a wahadłem fizycznym jest rozkład ich masy. W przypadku wahadła matematycznego, jego całkowita masa skupiona jest w ciężarku zawieszonym na lince, znajdującym się w odległości L, odpowiadającej długości linki, od punktu jego zawieszenia. Rozkład masy wahadła fizycznego, nazywanego również wahadłem rzeczywistym, jest nieco bardziej skomplikowany w porównaniu z wahadłem matematycznym (patrz poniższy przykład).

Wahadło fizyczne - rozkład sił


Na poniższym rysunku przedstawiono przykładowe wahadło fizyczne, którego środek masy S zlokalizowany jest w odległości h od punktu zawieszenia wahadła.


wahadło fizyczne - rysunek schematyczny - wahadło matematyczne i fizyczne

Wahadło fizyczne.


Podobnie jak w przypadku wahadła matematycznego, na wahadło fizyczne poruszające się ruchem okresowym, działa moment siły M dążący do przywrócenia stanu równowagi tego wahadła. Jednakże w tym przypadku moment siły nie jest proporcjonalny do długości linki L, lecz do długości h dzielącej punkt zawieszenia wahadła od punktu S będącego środkiem masy wahadła:

moment siły - wahadło fizyczne - wahadło matematyczne i fizyczne

Częstość kołowa i okres drgań wahadła fizycznego - wzór


Wyrażenia pozwalające obliczyć częstość kołową ω oraz okres T drgań wahadła fizycznego wynoszą odpowiednio (dla małych kątów):

częstość kołowa drgań wahadła fizycznego - wzór ogólny - wahadło matematyczne i fizyczne
oraz:
okres drgań wahadła fizycznego - wzór ogólny - wahadło matematyczne i fizyczne
Podstawiając w miejsce I/mh wartość L0 dostaniemy wzór na okres drgań wahadła matematycznego:

okres drgań wahadła fizycznego i matematycznego - wahadło matematyczne i fizyczne
Z powyższej zależności wynika bardzo ważna informacja: każdemu wahadłu fizycznemu drgającemu z okresem T wokół punktu zawieszenia, odpowiada wahadło matematyczne o długości L0 (długość L0 nazywana jest długością zredukowaną wahadła) drgające z takim samym okresem, co wahadło fizyczne.

Ważna uwaga: drgania wahadła fizycznego i matematycznego występują tylko wtedy, gdy ich punkt zawieszenia znajduje się w punkcie różnym od środka ich masy; w przeciwnym wypadku drgania nie zachodzą, ponieważ dla L = 0 lub h = 0, okres T → ∞, co oznacza, że wahadło nie wykona nawet jednego pełnego drgania.

Zobacz również:


Podziel się!

  • Facebook
  • Wykop
  • NK
  • Kciuk
  • Blogger
  • Twitter
  • MySpace
  • Gadu-Gadu
  • Digg
  • Technorati
  • RSS
  • Email
  • Add to favorites
Bookmark and Share

Osoby, które odwiedziły tą stronę wpisały w wyszukiwarce Google poniższe frazy:

  • wahadło matematyczne
  • wahadlo matematyczne
  • wahadło fizyczne
  • wahadło matematyczne i fizyczne
  • wachadlo matematyczne
  • wahadło matematyczne a fizyczne
  • wachadło matematyczne
  • wahadlo fizyczne
  • okres drgań wahadła fizycznego definicja
  • wachadłomatematyczne
 

Oceń artykuł:
ZłySłabyPrzeciętnyDobryBardzo dobry (3 ocen(-a), średnia ocena: 5.00 na 5)
Loading...Loading...

Tagi: , , , ,

Dodaj komentarz