Wahadło matematyczne i fizyczne – zadanie nr 2

Wiedząc, że przyspieszenie na Księżycu jest sześć razy mniejsze niż na Ziemi, oblicz okres drgań wahadła matematycznego umieszczonego na Księżycu, jeżeli okres jego drgań na Ziemi wynosi T  = 4 s.

Okres T  drgań wahadła matematycznego, znajdującego się na powierzchni Ziemi, dany jest poniższym wyrażeniem:

$$T = 2 \hspace{.05cm} \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

gdzie:
l  – długość wahadła,
g  – przyspieszenie ziemskie równe 9,81 m/s².

Jak wynika z treści zadania, przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu jest sześciokrotnie mniejsze niż na Ziemi $\left( \frac{1}{6} \hspace{.05cm} g \right)$, w związku z czym spodziewamy się, że okres T_k  drgań wahadła na powierzchni Księżyca będzie większy niż na powierzchni Ziemi. Korzystając z powyższego wzoru możemy zapisać okres drgań wahadła na Księżycu jako:

$$T_k = 2 \hspace{.05cm} \pi \sqrt{\frac{l}{\frac{1}{6} \hspace{.05cm} g}} = 2 \hspace{.05cm} \pi \sqrt{\frac{6 \hspace{.05cm} l}{g}}$$

Długość wahadła nie jest podana w treści zadania. Znamy jednak wartość okresu T  drgań wahadła na Ziemi, w związku z czym możemy przekształcić wyrażenie na T  względem wielkości  $2 \hspace{.05cm} \pi$  i podstawić je następnie do wzoru na T_k :

$$T_k = T \cdot \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot \sqrt{\frac{6 \hspace{.05cm} l}{g}} = T \cdot \sqrt{\frac{6 \hspace{.1cm} g \hspace{.1cm} l}{g \hspace{.1cm} l}} = \sqrt{\mathstrut 6} \hspace{.1cm} T$$

Po podstawieniu w miejsce T  wartości podanej w treści zadania otrzymamy:

$$T_k = \sqrt{\mathstrut 6} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} 4 \hspace{.05cm} \textrm{s} \approx 10 \hspace{.05cm} \textrm{s}$$