Transformacja Lorentza

29 grudnia 2011

W artykułach dotyczących względności czasu oraz skrócenia długości rozważaliśmy przypadek dwóch obserwatorów, z których jeden poruszał się względem drugiego ze stałą prędkością V. Z każdym z tych obserwatorów związany był własny układ odniesienia, względem którego dokonywano pomiarów zachodzących zdarzeń, których wyniki (w zależności od względnej prędkości pomiędzy obserwatorami) w mniejszym lub większym stopniu różniły się od siebie. Z tego artykułu dowiesz się jaka jest wzajemna zależność pomiędzy wynikami uzyskiwanymi przez dwóch obserwatorów.

Rozważmy dwa inercjalne układy odniesienia: W  oraz W’, z których jeden – W’  – porusza się ze stałą prędkością V  względem układu W  w dodatnim kierunku osi oznaczonych jako x  oraz x’. Zgodnie z poniższym rysunkiem obserwator związany z układem W’  przypisze pewnemu zdarzeniu współrzędne przestrzenne oraz czasowe (nazywane współrzędnymi czasoprzestrzennymi) x’, y’, z’  oraz t’, a obserwator w układzie W  – współrzędne x, y, z  oraz t.

dwa inercjalne układy odniesienia - rysunek schematyczny - transformacja Lorentza

Transformacja Galileusza

Względny ruch pomiędzy układami W  i W’  nie wpływa na współrzędne y  oraz z  odczytywanych z osi prostopadłych do kierunku ruchu, dlatego też możemy zapisać, że y’  = y  oraz z’  = z. W związku z tym interesować nas będzie tylko i wyłącznie zależność pomiędzy współrzędnymi x  i x’  oraz t  i t’.

Przed opublikowaniem przez Einsteina szczególnej teorii względności wzajemne zależności pomiędzy współrzędnymi czasoprzestrzennymi opisywała transformacja Galileusza:

\begin{align*}
&x’ = x \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V \hspace{.05cm} t\\
&y’ = y\\
&z’ = z\\
&t’ = t
\end{align*}

Powyższe równania są prawdziwe, gdy w chwili t’  = t  = 0 początki obydwu układów odniesienia pokrywają się. Pierwsze z równań otrzymamy opierając się na powyższym rysunku. Na temat drugiego i trzeciego równania pisaliśmy już wcześniej. Czwarte równanie t’ = t  oznacza, że czas w obydwu układach odniesienia płynie w jednakowym tempie, co do czasu pojawienia się szczególnej teorii względności Einsteina uznawano za pewnik (fizyka nierelatywistyczna). Dziś już wiemy, że transformacja Galileusza jest prawdziwa tylko dla prędkości dużo mniejszych od prędkości światła w próżni.

Transformacja Lorentza

Poprawny opis dla wszystkich fizycznie dozwolonych prędkości uzyskamy stosując transformację Lorentza, nazwaną tak na cześć holenderskiego fizyka H.A. Lorentza (1853-1928), który jako pierwszy wyprowadził poniższe równania:

\begin{align*}
&x’ = \gamma \left( x \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V \hspace{.05cm} t \right) \\
&y’ = y\\
&z’ = z\\
&t’ = \gamma \left( t \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{V \hspace{.05cm} x}{c^2} \right)
\end{align*}

gdzie γ to współczynnik Lorentza równy $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \frac{V}{c} \right)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \beta^2}}$

Na uwagę zasługuje obecność w pierwszym i ostatnim równaniu współrzędnej przestrzennej x  oraz współrzędnej czasowej t  będących przejawem wzajemnego powiązania czasu i przestrzeni, co stanowi kwintesencję szczególnej teorii względności Einsteina.
Można łatwo wykazać, że powyższe równania relatywistyczne przechodzą w równania nierelatywistyczne, gdy prędkość c  dąży do nieskończoności (w takim przypadku γ  zmierza do jedności i tym samym otrzymujemy transformację Galileusza).

Należy jeszcze wspomnieć o równaniach opisujących sytuację odwrotną tj. sytuację, w której znamy współrzędną x’  oraz t’  i chcemy wyznaczyć współrzędną x  oraz t. W takim przypadku wystarczy przekształcić zapisane powyżej równania transformacji Lorentza otrzymując poniższy zestaw równań:

\begin{align*}
&x = \gamma \left( x’ + V \hspace{.05cm} t’ \right) \\
&y = y’\\
&z = z’\\
&t = \gamma \left( t’ + \frac{V \hspace{.05cm} x’}{c^2} \right)
\end{align*}

Transformacja Lorentza – dwa zdarzenia

Równania, które pojawiły się do tej pory wiązały ze sobą współrzędne dotyczące tylko jednego zdarzenia widzianego przez dwóch obserwatorów. Gdybyśmy chcieli się dowiedzieć jaka jest różnica współrzędnych dla pary zdarzeń musielibyśmy skorzystać z następujących równań zapisanych dla przypadku, w którym szukamy zarówno współrzędnych x  i t, jak i współrzędnych x’  i t’:

$$\Delta \hspace{.03cm} x’ = \gamma \left( \Delta \hspace{.03cm} x \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} t \right) \hspace{3cm} \Delta \hspace{.03cm} x = \gamma \left( \Delta \hspace{.03cm} x’ + V \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} t’ \right)$$

$$\Delta \hspace{.03cm} t’ = \gamma \left( \Delta \hspace{.03cm} t \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{V \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} x}{c^2} \right) \hspace{3cm} \Delta \hspace{.03cm} t = \gamma \left( \Delta \hspace{.03cm} t’ + \frac{V \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} x’}{c^2} \right)$$

gdzie $\Delta \hspace{.03cm} x = x_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x_1$  i  $\Delta \hspace{.03cm} x’ = x’_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x’_1$ to różnica pomiędzy współrzędnymi przestrzennymi dla dwóch zdarzeń zmierzona przez obserwatora związanego odpowiednio z układem W  oraz W’, a $\Delta \hspace{.03cm} t = t_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} t_1$  i  $\Delta \hspace{.03cm} t’ = t’_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} t’_1$ – różnica pomiędzy współrzędnymi czasowymi odpowiednio w układzie W  oraz W’.

Może to Cię również zainteresuje:

Oceń artykuł:

NieprzydatnySłabyPrzeciętnyPrzydatnyBardzo przydatny (Brak ocen)
Loading...

Tagi:

Dodaj komentarz
Pole wymagane
Pole wymagane (e-mail nie będzie widoczny)
Pole wymagane