Transformacja Lorentza – zadanie nr 3

Pewien obserwator związany z układem odniesienia W  widzi słaby błysk w odległości x₁  = 1,1 km oraz silny błysk w odległości x₂  = 2 km. Stwierdza ponadto, że odstęp czasowy pomiędzy błyskami wyniósł 20 μs oraz, że błysk słabszy nastąpił jako pierwszy. Oblicz względną prędkość obserwatora związanego z układem W’, który stwierdził, że obydwa błyski nastąpiły w tym samym miejscu w przestrzeni. Podaj ile wynosi odstęp czasu pomiędzy błyskami zmierzony w układzie W’  i na tej podstawie odpowiedz na pytanie, który błysk (w układzie W’ ) nastąpił wcześniej.

Na początku, podobnie jak w zadaniu Transformacja Lorentza – zadanie nr 2, wprowadźmy oznaczenia: Δx  i Δt  to różnica współrzędnych przestrzennych i czasowych pomiędzy silnym a słabym błyskiem zarejestrowanych w układzie odniesienia W, zaś Δx’  i Δt’  jest różnicą współrzędnych w układzie W’. Wartość odstępu Δx  i Δt  możemy z łatwością wyznaczyć podstawiając do poniższych wzorów (zobacz: Transformacja Lorentza) wartości liczbowe podane w treści zadania:

$$\Delta \hspace{.03cm} x = x_2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} x_1 = 2 \hspace{.05cm} \textrm{km} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{km} = 0,\hspace{-.1cm}9 \hspace{.05cm} \textrm{km}$$

$$\Delta \hspace{.03cm} t = t_2 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} t_1 = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 20 \hspace{.05cm} \mu\textrm{s}$$

gdzie x₂  oraz t₂  to współrzędne silnego błysku, z kolei x₁  oraz t₁  – współrzędne błysku słabego.

Zdaniem obserwatora związanego z układem W  błysk słabszy nastąpił wcześniej, niż błysk silniejszy, dlatego też odstęp czasu Δt  przyjmuje wartość ujemną.

Aby obliczyć ile wynosi prędkość obserwatora w układzie W’  oraz odstęp czasu Δt’  jaki zmierzy on względem swojego układu odniesienia będziemy musieli skorzystać z transformacji Lorentza. Zależność pomiędzy współrzędnymi przestrzennymi oraz czasowymi dla układów W  oraz W’  przedstawiają poniższe wyrażenia:

$$\Delta \hspace{.03cm} x’ = \gamma \left( \Delta \hspace{.03cm} x \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} V \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} t \right)$$

$$\Delta \hspace{.03cm} t’ = \gamma \left( \Delta \hspace{.03cm} t \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{V \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} x}{c^2} \right)$$

W oparciu o pierwsze równanie obliczymy względną prędkość V  obserwatora związanego z układem W’, z kolei odstęp czasu Δt’  (gdy będziemy znali już wartość V ) – z równania drugiego. Zajmijmy się zatem pierwszą częścią zadania. Wartość różnicy współrzędnych przestrzennych Δx  oraz czasowych Δt  jest znana i wynosi Δx  = 0,9 km, Δt  = – 20 μs. Wiemy także, że Δx’  = 0 km, ponieważ, zgodnie z treścią zadania, zdaniem obserwatora w układzie W’  obydwa błyski nastąpiły w tym samym miejscu w przestrzeni. Po przekształceniu pierwszego równania, podstawienia do niego wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń otrzymamy zatem wartość względnej prędkości V  obserwatora w układzie W’, równą:

$$V = \frac{\Delta \hspace{.03cm} x}{\Delta \hspace{.03cm} t} = \frac{0,\hspace{-.1cm}9 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{\hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 20 \cdot 10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{s}} = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 4,\hspace{-.1cm}5 \cdot 10^7 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 0,\hspace{-.1cm}15 \hspace{.1cm} c$$

gdzie c  to prędkość światła w próżni równa 3 ⋅ 10⁸ m/s.

Znak minus oznacza, że obserwator związany z układem W’  porusza się w kierunku ujemnych wartości osi x  układu W  tzn. w kierunku przeciwnym do ruchu obserwatora W.

Znając wartość prędkości V  możemy przystąpić do obliczenia odstępu czasu Δt’ :

$$\Delta \hspace{.03cm} t’ = \frac{1}{\sqrt{\mathstrut 1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \left( \frac{0,15 \hspace{.05cm} c}{c} \right)^2}} \cdot \left( \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 20 \cdot 10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{s} \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{\left( \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm}0,\hspace{-.1cm}15 \right) \cdot 3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \cdot 0,\hspace{-.1cm}9 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{\left( 3 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \right)^2} \right) = \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 19,\hspace{-.1cm}77 \hspace{.05cm} \mu\textrm{s}$$

Na podstawie otrzymanego wyniku stwierdzamy, że kolejność błysków zarejestrowanych przez obserwatora w układzie W’  jest taka sama jak w układzie W  (znak stojący przed wartością odstępu czasu Δt’  odpowiada znakowi stojącemu przed Δt ). Zauważ także, że wartość Δt’  tylko nieznacznie różni się od wartości Δt. Jest to spowodowane względnie „małą” prędkością obserwatora W’  (prawie rząd wielkości mniejsza od prędkości światła w próżni) oraz małym odstępem czasu upływającym pomiędzy dwoma zdarzeniami (w przypadku większego odstępu czasu pomiędzy zdarzeniami uzyskalibyśmy o wiele większe skrócenie czasu).