Skrócenie długości

Gdy chcesz dokonać pomiaru długości spoczywającego względem Ciebie ciała, możesz tego dokonać (bez większego pośpiechu) przy użyciu miarki lub odpowiednio długiej linijki, odczytując położenie końców mierzonego obiektu i następnie odejmując je od siebie. W przypadku, gdy obiekt, którego długość chcesz zmierzyć, porusza się z prędkością V  względem Ciebie, położenie jego końców musisz (spiesząc się!) odczytać jednocześnie, bo inaczej nie będzie to pomiar długości. Dla ciał poruszających się z prędkością bliską c  zachodzi zjawisko skrócenia długości, którego omówienie znajdziesz poniżej.

Skrócenie długości – opis zjawiska

Wyjaśnienie zjawiska skrócenia długości przedstawimy dla tej samej pary obserwatorów – Jacek i Placek – co w artykule Względność czasu. Tym razem Placek stojący na przystanku autobusowym postanawia zmierzyć długość wiaty autobusowej używając do tego celu taśmy mierniczej. Po dokonaniu pomiaru stwierdza, że długość wiaty wynosi L₀ . Długość zmierzona przez Placka jest długością własną wiaty, ponieważ ta spoczywa względem niego. Nie dziwi więc fakt, że długość ta czasami nazywana jest długością spoczynkową. A jaką w takim razie długość zmierzy Jacek poruszający się względem Placka (i wiaty) z prędkością V ? Według Jacka wiata porusza się względem niego, wobec czego długość jaką zmierzy będzie równa L.

Spróbujmy teraz powiązać te obydwie długości z czasem oraz względną prędkością obserwatorów. Napisaliśmy na samym początku, że pomiar długości danego obiektu wymaga odczytu położenia jego końców. Jacek podróżujący pociągiem stwierdzi, że pomiary długości wiaty dokonywane przez Placka zachodzą w tym samym miejscu w przestrzeni. Odstęp czasu między tymi zdarzeniami, który zmierzy Jacek będzie równy Δt₀  i będzie to czas własny. Długość L  zmierzoną przez Jacka zapiszemy zatem jako:

$$L = V \hspace{.04cm} \Delta \hspace{.03cm} t_0$$

Z punktu widzenia Placka, pomiary dokonywane przez Jacka zachodzą w dwóch różnych miejscach w przestrzeni. Odstęp czasu między nimi będzie zdaniem Placka będzie Δt  (ponieważ pomiar czasu wymaga użycia dwóch zsynchronizowanych zegarów). Odległość L₀  jaką zmierzy Placek wyraża poniższe wyrażenie:

$$L_0 = V \hspace{.04cm} \Delta \hspace{.03cm} t$$

Dzieląc przez siebie dwa powyższe równania i podstawiając w miejsce Δt  wyrażenie na dylatację czasu

$$\frac{L}{L_0} = \frac{V \hspace{.04cm} \Delta \hspace{.03cm} t_0}{V \hspace{.04cm} \Delta \hspace{.03cm} t} = \sqrt{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \left( \tfrac{V}{c} \right)^2}$$

otrzymamy wyrażenie opisujące skrócenie długości:

$$L = L_0 \hspace{.1cm} \sqrt{1 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \left( \tfrac{V}{c} \right)^2}$$

Skrócenie długości – konsekwencja dylatacji czasu

Skrócenie długości jest efektem relatywistycznym będącym bezpośrednią konsekwencją dylatacji czasu. Zwróć uwagę, że zgodnie z postulatem stałej prędkości światła prędkość V  jest zawsze mniejsza od jedności, w związku z czym długość L będzie zawsze mniejsza od długości L₀ . Oznacza to, że największe skrócenie długości otrzymamy dla przypadku, w którym obserwator dokonujący pomiaru długości będzie poruszał się względem mierzonego obiektu z prędkością bliską prędkości światła w próżni.