Siła wyporu. Prawo Archimedesa – zadanie nr 10

Kula miedziana o promieniu R  = 0,2 m została wydrążona wewnątrz tak, że powstało kuliste, współśrodkowe wydrążenie o promieniu r. Gdy kulę tę wrzuci się do wody to pływa w niej całkowicie zanurzona. Oblicz promień wydrążenia r. Gęstość wody ρ_w  = 1000 kg/m³, gęstość miedzi ρ_Cu  = 8900 kg/m³.

Na kulę całkowicie zanurzoną w wodzie działa skierowana w dół siła ciężkości $\vec{F_g}$  oraz skierowana w górę siła wyporu $\vec{F_w}$. Ze względu na obecność współśrodkowego wydrążenia o promieniu r  wewnątrz kuli, kula, zamiast opaść na dno, pływa na pewnej głębokości pod powierzchnią wody.

Przyrównując do siebie siłę ciężkości oraz siłę wyporu działającą na kulę, otrzymamy:

$$F_g = F_w \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} m_k \hspace{.05cm} g = m_w \hspace{.05cm} g$$

gdzie:
m_k  – masa kuli,
m_w  – masa wypartej wody,
g  – przyspieszenie ziemskie.

Korzystając ze wzoru na objętość kuli: $V_k = \frac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} R^3$, masa wody wypartej przez miedzianą kulę wynosi:

$$m_w = V_w \hspace{.05cm} \rho_w = V_k \hspace{.05cm} \rho_w = \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} R^3 \hspace{.05cm} \rho_w$$

gdzie:
R  – promień kuli,
ρ_w  – gęstość wody (woda „nie wie” o istnieniu wydrążenia wewnątrz kuli, dlatego objętość wypartej wody V_w  równa jest całkowitej objętości kuli V_k ).

Masa miedzianej kuli, po uwzględnieniu wydrążenia o promieniu r  oraz pominięciu masy powietrza wypełniającego to wydrążenie, jest równa:

$$m_k = V_k \hspace{.05cm} \rho_{Cu} = \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} R^3 \hspace{.05cm} \rho_{Cu} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r^3 \hspace{.05cm} \rho_{Cu} = \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \left( R^3 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} r^3 \right) \hspace{.05cm} \rho_{Cu}$$

gdzie ρ_Cu  to gęstość miedzi.

Podstawiając wzór na m_w  i m_k  do równania $m_k \hspace{.05cm} g = m_w \hspace{.05cm} g$, dostaniemy:

$$\tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \left( R^3 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} r^3 \right) \hspace{.05cm} \rho_{Cu} \hspace{.08cm} g = \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} R^3 \hspace{.05cm} \rho_w \hspace{.08cm} g$$

Po skróceniu wyrazów podobnych, mamy:

$$\left( R^3 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} r^3 \right) \hspace{.05cm} \rho_{Cu} = R^3 \hspace{.05cm} \rho_w$$

Po spierwiastkowaniu powyższego wyrażenia oraz przekształceniu względem promienia r, otrzymamy:

$$r^3 = R^3 \left( 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \dfrac{\rho_w}{\rho_{Cu}} \right) \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} r = R \cdot \sqrt[3]{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \dfrac{\rho_w}{\rho_{Cu}}}$$

Wiemy, że R  = 0,2 m, ρ_w  = 1000 kg/m³, ρ_Cu  = 8900 kg/m³, dlatego:

$$r = 0,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{m} \cdot \sqrt[3]{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \dfrac{1000 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3}}{8900 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3}}} \approx 0,\hspace{-.05cm}19 \hspace{.07cm} \textrm{m}$$