Prędkość ucieczki

Gdy wyrzucisz ciało w kierunku pionowym z pewną prędkością początkową V₀ , ciało to pod wpływem działającej na nie siły ciężkości, skierowanej przeciwnie do kierunku jego ruchu, zacznie stopniowo zwalniać, na pewnej wysokości h  jego prędkość będzie równa zero, po czym swobodnie spadnie na Ziemię. Gdybyśmy jednak nadali temu ciału pewną graniczną prędkość początkową nazywaną prędkością ucieczki, ciało to będzie poruszać się nieustannie ku górze, zatrzymując się dopiero w nieskończonej (przynajmniej teoretycznie) odległości od Ziemi. Sytuację tę możemy przenieść na każde ciało niebieskie i jak się za chwilę przekonasz wartość prędkości ucieczki jest ściśle uzależniona od masy oraz promienia ciała niebieskiego.

Prędkość ucieczki – wzór

Wyobraźmy sobie, że z powierzchni pewnego ciała niebieskiego, wystrzelono, ku górze, ciało o masie m  z prędkością ucieczki V . W momencie rozpoczęcia ruchu ciało to będzie posiadać pewną energię kinetyczną E_k  oraz energię potencjalną E_p . Ponieważ jak napisaliśmy wcześniej, ciało poruszające się z prędkością ucieczki zatrzyma się dopiero w nieskończonej odległości od punktu, z którego zostało wystrzelone, tak więc zarówno energia kinetyczna, jak i energia potencjalna ciała będą w punkcie r → ∞ równe zero. Dodatkowo w oparciu o zasadę zachowania energii, możemy stwierdzić, że energia całkowita tego ciała na powierzchni obiektu, z którego zostało wystrzelone, musi być także równa zero. W związku z tym możemy zapisać:

$$E_c = E_k \hspace{.1cm} + \hspace{.1cm} E_p = \tfrac{1}{2} \hspace{.1cm} m \hspace{.1cm} V^2 \hspace{.1cm} + \hspace{.1cm} \left( – \hspace{.1cm} G \hspace{.1cm} \frac{m \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} M}{r} \right) = 0$$

Po przekształceniu powyższej zależności względem V  otrzymamy wyrażenie na prędkość ucieczki równe:

$$V = \sqrt{ \frac{2 \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} M}{r} }$$

gdzie M  i r  to odpowiednio masa oraz promień ciała niebieskiego (np. gwiazdy, planety).

Prędkość ucieczki z wybranych ciał niebieskich

W poniższej tabeli przedstawiono wartości prędkości ucieczki V  z wybranych ciał niebieskich:

Należy zaznaczyć, że prędkość ucieczki V  nie zależy zasadniczo od kierunku, w którym ciało porusza się opuszczając np. Ziemię. W praktyce jednak opuszczenie dowolnego ciała niebieskiego przez dowolne ciało jest łatwiejsze do zrealizowania, gdy kierunek wystrzału ciała jest zgodny z kierunkiem ruchu np. planety – aby to osiągnąć kierunek wystrzału ciała jest nieznacznie odchylany od pionu.