Prawo powszechnego ciążenia – zadanie nr 3

Oblicz średnią gęstość Ziemi wiedząc, że jej promień r_z  = 6370 km, przyspieszenie ziemskie g  = 9,81 m/s², a stała grawitacji G  = 6,67 ∙ 10^-11 N ∙ m²/kg². Załóż, że Ziemia ma kształt kuli.

Gęstość ρ  dowolnego ciała wyrażona jest poprzez stosunek jego masy m  do objętości V, w związku z czym średnią gęstość Ziemi możemy przedstawić jako:

$$\rho_Z = \frac{M_Z}{V_Z}$$

Zarówno masa Ziemi M_Z , jak i jej objętość V_Z  nie są znane. Za chwilę przekonasz się jednak, że możemy je powiązać z wielkościami podanymi w treści zadania.

Aby obliczyć objętość V_Z  skorzystamy z założenia, że Ziemia ma kształt kuli. Korzystając ze wzoru na objętość kuli, mamy:

$$V_Z = \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.1cm} r_Z^3$$

gdzie r_Z  to promień Ziemi.

Wyrażenie na M_Z  otrzymamy korzystając z następującej zależności:

$$m \hspace{.05cm} g = G \hspace{.05cm} \frac{m \hspace{.1cm} M_Z}{r_Z^2}$$

Powyższe wyrażenie opisuje sytuację, w której na powierzchni Ziemi znajduje się ciało o bardzo znikomej masie równej m  oraz o bardzo znikomych rozmiarach tj. takich, że odległość pomiędzy środkami tych dwóch obiektów odpowiada promieniowi Ziemi r_Z . Możesz się przekonać, że wartość przyciągającego oddziaływania pomiędzy Ziemią a takim obiektem odpowiada wartości siły ciężkości mg  działającej na niego ze strony Ziemi.

Po skróceniu i przekształceniu powyższego wzoru względem M_Z  dostaniemy:

$$M_Z = \frac{g \hspace{.1cm} r_Z^2}{G}$$

Podstawiając zależności na M_Z  i r_Z  do wzoru na średnią gęstość Ziemi uzyskamy:

$$\rho_Z = \frac{M_Z}{V_Z} = \frac{3 \hspace{.05cm} g \hspace{.05cm} r_Z^2}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} r_Z^3} = \frac{3 \hspace{.05cm} g}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} r_Z}$$

Po podstawieniu danych liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy:

$$\rho_Z = \frac{3 \cdot 9,\hspace{-.1cm}81 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}}{4 \cdot 3,\hspace{-.1cm}14 \cdot 6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \frac{\textrm{N} \cdot \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 6370 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m}} = 5515 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{m}^3}$$