RSS
 

Prawa Keplera

17 Maj 2012

Od bardzo dawna ruch planet zachodzący na tle nieba fascynował badaczy na całym świecie. Pomimo wielu odkryć poczynionych na przestrzeni wieków, ruch planet pozostawał jedną wielką zagadką. Sytuacja ta uległa nagłej zmianie, kiedy niemiecki matematyk i astronom Johannes Kepler (1571 - 1630) sformułował na początku siedemnastego wieku trzy empiryczne prawa opisujące ruch planet, które obecnie, na jego cześć, noszą nazwę praw Keplera. Do sformułowania tychże praw przyczynił się obszerny zbiór danych obserwacyjnych zebranych przez duńskiego astronoma Tycho Brahe (1546 - 1601) - nauczyciela Keplera.


Pierwsze prawo Keplera


Wszystkie planety poruszają się po eliptycznych orbitach, w których ognisku znajduje się Słońce.

Na poniższym rysunku przedstawiono planetę o masie m poruszającą się wokół Słońca (o masie M) po orbicie w kształcie elipsy. W jednym z dwóch ognisk tej elipsy, oznaczonych literami K oraz K', znajduje się Słońce. Każde ognisko znajduje się w odległości ea od środka elipsy, gdzie e oznacza mimośród orbity, z kolei a - półoś wielką orbity, czyli połowę większej osi elipsy. Mimośród orbity to wielkość charakteryzująca kształt orbity: e = 0 odpowiada orbicie kołowej - szczególnemu przypadkowi orbity eliptycznej, w której ogniska elipsy znajdują się w tym samym punkcie, e = 1 - orbicie eliptycznej. Wartości e oraz a determinują wielkość orbity, po której wokół Słońca poruszają się planety.

planeta poruszająca się po orbicie wokół Słońca - prawa Keplera

Na rysunku literką b zaznaczono również półoś małą orbity, czyli połowę mniejszej osi elipsy oraz peryhelium Rp i aphelium Ra, czyli punkt orbity, w którym odległość planety od Słońca jest, odpowiednio, najmniejsza oraz największa.

W poniższej tabeli przedstawiono wartość mimośrodu e, półosi wielkiej orbity a oraz obwód orbity dla każdej z planet Układu Słonecznego:

Planeta
Mimośród e (-)
Półoś wielka orbity a (j.a.)
Obwód orbity (j.a.)
Merkury
0,20563
0,38709
2,406
Wenus
0,00671
0,72333
4,545
Ziemia
0,01671
1,00000
6,179
Mars
0,09341
1,52366
9,553
Jowisz
0,04839
5,20336
31,912
Saturn
0,05415
9,53707
59,879
Uran
0,04717
19,19126
120,515
Neptun
0,00859
30,06896
30,44
1 j.a. = 149 597 870 691 m - jedna jednostka astronomiczna odpowiada średniej odległości Ziemi od Słońca.

Uwaga: pierwsze prawo Keplera dotyczy nie tylko planet poruszających się wokół Słońca lecz wszystkich obiektów (np. satelitów) poruszających się wokół dowolnego masywnego ciała niebieskiego.


Drugie prawo Keplera


Linia łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w równych odstępach czasu jednakowe pola powierzchni ΔS w płaszczyźnie orbity.

Drugie prawo Keplera jest równoważne zasadzie zachowania momentu pędu.
Można wykazać, że szybkość zmiany pola powierzchni ΔS, zakreślanego przez linię łączącą planetę ze Słońcem (zobacz rysunek poniżej) wynosi:

pole powierzchni zakreślane przez linię łącząca planetę ze Słońcem - prawa Keplera
gdzie r to odległość dzieląca Słońce od planety, ω - prędkość kątowa obrotu linii łączącej Słońce z planetą.

pole powierzchni zakreślone przez linię łączącą planetę ze Słońcem - prawa Keplera

Linia o długości R łącząca planetę ze Słońcem zakreśla w pewnym odstępie czasu pole powierzchni ΔS. Wielkość tego pola jest stała i nie zależy od położenia planety względem Słońca.


Oznaczając przez L moment pędu planety względem Słońca, którego wartość wynosi

moment pędu planety - prawa Keplera
dostaniemy, że:
pole powierzchni zakreślane przez linię łącząca planetę ze Słońcem - podstawienie - prawa Keplera
Zgodnie z drugim prawem Keplera pochodna dS/dt jest stała a więc stała musi być także wartość momentu pędu L. Oznacza to, że planeta znajdująca się daleko od powierzchni Słońca (np. w aphelium) porusza się po orbicie wolniej, niż wtedy, gdy znajduje się blisko Słońca (np. w peryhelium).


Trzecie prawo Keplera


Kwadrat okresu T ruchu planety po orbicie wokół Słońca jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej a tej orbity.

Treść trzeciego prawa Keplera opisuje poniższy wzór:

trzecie prawo Keplera - prawa Keplera
gdzie M to masa ciała wokół którego krąży planeta (w naszym przypadku M to masa Słońca), a - półoś wielka orbity eliptycznej.

Powyższe wyrażenie obowiązuje również w przypadku orbit kołowych, dla których w miejsce a należy wstawić promień r takiej orbity. Wyprowadzenie tego wzoru znajdziesz tutaj: Trzecie prawo Keplera - wyprowadzenie wzoru.

Z trzeciego prawa Keplera wynika, że stosunek T2/a3 powinien być stały dla wszystkich orbit związanych z planetami krążącymi wokół tego samego ciała o masie M. Dla planet wchodzących w skład naszego Układu Słonecznego stosunek ten, bliski wartości 3, jest w przybliżeniu stały, co potwierdza słuszność tego prawa.

Zobacz również:


Podziel się!

  • Facebook
  • Wykop
  • NK
  • Kciuk
  • Blogger
  • Twitter
  • MySpace
  • Gadu-Gadu
  • Digg
  • Technorati
  • RSS
  • Email
  • Add to favorites
Bookmark and Share

Osoby, które odwiedziły tą stronę wpisały w wyszukiwarce Google poniższe frazy:

  • pierwsze prawo keplera
  • teoria Keplera
  • 1 prawo keplera
  • 2 prawo keplera wzór definicja
  • co to jest elipsa fizyka
  • 2 prawo keplera wyprowadzenie
  • drugie prawo keplera
  • mimośród ziemi
  • 1prawo keplera odległość ziemi od slonca
  • prawa keplera fizyka
 

Oceń artykuł:
ZłySłabyPrzeciętnyDobryBardzo dobry (3 ocen(-a), średnia ocena: 4.67 na 5)
Loading...Loading...

Tagi: , , , , ,

Dodaj komentarz

 

 
  1. Marta

    2013/11/19 at 18:12

    Super strona! Wielkie dzięki :)