Potencjał elektryczny – zadanie nr 4

Elektryczność i magnetyzm - zadania
2 komentarze
Drukuj

W dwóch wierzchołkach znajdującego się w próżni trójkąta równobocznego umieszczono ładunki + e  i – 2 e. Jaki ładunek należy umieścić w trzecim wierzchołku, aby potencjał pola elektrycznego w geometrycznym środku trójkąta wynosił zero?

rozwiązanie

Sytuację przedstawioną w treści zadania przedstawia poniższy rysunek:

trójkąt równoboczny - ładunki elektryczne - rysunek schematyczny - potencjał elektryczny - zadanie nr 4

gdzie:
a – bok trójkąta,
R  – odległość od ładunku do środka geometrycznego P trójkąta równobocznego.

Wielkością szukaną jest wartość ładunku q, dla którego potencjał elektryczny w punkcie P jest równy V  = 0. Potencjał pola elektrycznego to wielkość skalarna wyrażona wzorem:

$$V = k \hspace{.05cm} \frac{q}{r}$$

gdzie:
k  – stała elektrostatyczna równa 9 ⋅ 109 (N ⋅ m2)/C2,
q  – ładunek elektryczny,
r  – odległość od ładunku do punktu, w którym chcemy obliczyć potencjał pola elektrycznego.

W naszym przypadku odległość r  dla każdego z trzech ładunków przyjmuje jednakową wartość równą R  (środek geometryczny trójkąta równobocznego znajduje się w samym środku trójkąta, w związku z czym odległość od środka geometrycznego do każdego z ładunków jest taka sama), dlatego potencjał pola w punkcie P wynosi:

$$V = k \hspace{.05cm} \frac{e}{R} + k \hspace{.05cm} \frac{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm} e}{R} + k \hspace{.05cm} \frac{q}{r} = 0$$

Po wyłączeniu przed nawias wspólnego czynnika k /R, dostaniemy:

$$\frac{k}{R} \left( e \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm} e + q \right) = 0$$

Wielkość k /R  jest różna od zera, dlatego potencjał pola V  = 0, gdy wyrażenie (e  – 2 e  + q ) = 0. Oznacza to, że ładunek q  musi być równy:

$$e \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm} e + q = 0 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} q = 2 \hspace{.05cm} e \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} e = e$$

Dodaj komentarz

2 komentarze

  • Tomek

    Dodano dnia 20 maja 2017 o godz. 21:50

    czy aby na pewno to zadanie jest dobrze rozwiązane? Proszę przejść z potencjału pola na siły działające na ładunek umieszczony w pkt P, dla ładunku q=e wektosy się nie zerują, a zerowy potencjał pola nie może generować sił.

    • Admin

      Dodano dnia 21 maja 2017 o godz. 11:50

      Zadanie jest dobrze rozwiązane. Wielkością szukaną jest potencjał pola elektrycznego, a ten jest wielkością skalarną a nie wektorową. W zależności od konfiguracji ładunków potencjał pola może być równy 0 a natężenie pola może być różne od 0 i odwrotnie, tak jak w przypadku zadania Natężenie pola elektrycznego – zadanie nr 6.