RSS
 

Oscylator harmoniczny tłumiony

12 Cze 2012

Oscylator harmoniczny, którego drgania, a dokładniej amplituda drgań, ulegają osłabieniu na skutek działania sił zewnętrznych (np. sił oporu) nazywamy oscylatorem harmonicznym tłumionym. Drgania wykonywane przez taki oscylator nazywane są dlatego drganiami tłumionymi. Prostym przykładem takiego oscylatora jest układ przedstawiony na poniższym rysunku, składający się ze sprężyny o stałej sprężystości k oraz ciężarka o masie m zanurzonego w cieczy.



oscylator harmoniczny tłumiony - rysunek schematyczny
Przykład oscylatora harmonicznego tłumionego.

Podczas każdego wychylenia ciężarka z położenia równowagi, ciecz wywiera na ciężarek (i w konsekwencji na cały układ) siłę oporu FT, której wartość, przy założeniu, że siła FT jest proporcjonalna do prędkości V ciężarka, wynosi:

wartość siły oporu - oscylator harmoniczny tłumiony
gdzie b to stała tłumienia zależna od właściwości cieczy i ciężarka, której jednostką jest kg/s. Zauważ, że im większa wartość b, tym większa wartość siły oporu działającej na ciężarek. Znak minus w powyższym wzorze oznacza, że siła FT przeciwstawia się ruchowi ciężarka.

Równanie ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego


Oprócz siły FT na ciężarek działa również siła sprężystości F = - kx, związana ze sprężyną, dążąca do przywrócenia początkowej długości (nierozciągniętej) sprężyny. Jeżeli zaniedbać siłę ciężkości działającą na ciężarek, wówczas równanie ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego przedstawia poniższe równanie różniczkowe drugiego rzędu:

równanie ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego - oscylator harmoniczny tłumiony
Zależność tą możemy otrzymać zapisując dla układu ciężarek - sprężyna drugą zasadę dynamiki Newtona:
druga zasada dynamiki Newtona - oscylator harmoniczny tłumiony
podstawiając w miejsce V oraz a wielkość dx/dt oraz d2x/dt2.


wykres x(t) oscylatora harmonicznego tłumionego - oscylator harmoniczny tłumiony

Zależność przemieszczenia x ciężarka w funkcji czasu t wykonującego drgania harmoniczne tłumione. Czerwone krzywe przedstawiają zmianę amplitudy drgań tłumionych w funkcji czasu. Parametry ruchu: A = 2 m, b = 0,1 kg/s, m = 0,05 kg, k = 150 N/m, φ = 0.


Częstość kołowa i okres drgań oscylatora harmonicznego tłumionego


Rozwiązanie równania ruchu oscylatora harmonicznego tłumionego przyjmuje następującą postać:

zależność przemieszczenia ciała w funkcji czasu - oscylator harmoniczny tłumiony
gdzie wielkość Ae-bt/2m reprezentuje amplitudę drgań tłumionych, z kolei ω' - częstość kołową drgań tłumionych równą:

częstość kołowa drgań tłumionych - wzór ogólny - oscylator harmoniczny tłumiony
Okres T drgań tłumionych w związku z powyższym wynosi:

okres drgań tłumionych - wzór ogólny - oscylator harmoniczny tłumiony
Zwróć uwagę, że gdy b = 0 wyrażenia opisujące przemieszczenie x(t) ciężarka, częstość kołową ω' oraz okres T drgań tłumionych sprowadzają się do wyrażeń na x(t), ω oraz T klasycznego (nietłumionego) oscylatora harmonicznego.

Jeżeli w wyrażeniu na całkowitą energię mechaniczną oscylatora klasycznego zastąpimy amplitudę A drgań wyrażeniem opisującym amplitudę drgań tłumionych, wówczas energię mechaniczną oscylatora harmonicznego tłumionego będziemy mogli obliczyć, z dobrym przybliżeniem, korzystając z poniższego wyrażenia:

energia mechaniczna oscylatora tłumionego - oscylator harmoniczny tłumiony
Zależność ta jest słuszna dla małych wartości stałej tłumienia b. Zauważ, że wartość energii mechanicznej, podobnie jak i amplituda drgań, maleje wykładniczo z czasem t. Energia mechaniczna tracona przez układ ciężarek - sprężyna ulega zamianie na energię termiczną (cieplną) ciężarka oraz cieczy.

Zobacz również:


Podziel się!

  • Facebook
  • Wykop
  • NK
  • Kciuk
  • Blogger
  • Twitter
  • MySpace
  • Gadu-Gadu
  • Digg
  • Technorati
  • RSS
  • Email
  • Add to favorites
Bookmark and Share

Osoby, które odwiedziły tą stronę wpisały w wyszukiwarce Google poniższe frazy:

  • oscylator harmoniczny tłumiony
  • ruch harmoniczny tłumiony
  • drgania harmoniczne tłumione
  • drgania tłumione
  • okres drgań tłumionych
  • oscylator harmoniczny wzory
  • oscylator tlumiony okres
  • parametry drgań tłumionych
  • równanie oscylatora harmonicznego
  • tłumiony oscylator
 

Oceń artykuł:
ZłySłabyPrzeciętnyDobryBardzo dobry (3 ocen(-a), średnia ocena: 5.00 na 5)
Loading...Loading...

Tagi: , , , ,

Dodaj komentarz