Natężenie pola elektrycznego – zadanie nr 2

Elektryczność i magnetyzm - zadania
4 komentarze
Drukuj

Dwa ładunki q1 = 1 ⋅ 10-5 C oraz q2 = 3 ⋅ 10-5 C znajdują się w odległości l  = 0,2 m od siebie. Znajdź punkt, w którym natężenie pola elektrycznego jest równe zero.

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

rozwiązanie

Ładunki q1 i q2 są ładunkami dodatnimi, w związku z czym wektor natężenia pola elektrycznego będzie zwrócony od tych ładunków. Sytuację tą przedstawia poniższy rysunek:

układ dwóch dodatnich ładunków punktowych - rysunek schematyczny - natężenie pola elektrycznego - zadanie nr 2

Zauważ, że wektory $\vec{E}_1$  i  $\vec{E}_2$, związane odpowiednio z ładunkiem q1 i q2, mają przeciwne zwroty. Punkt P, leżący na linii łączącej obydwa te ładunki, odpowiada punktowi, w którym wypadkowe natężenie pola elektrycznego $\vec{E}_{wyp}$  jest równe zero. Zgodnie z rysunkiem, odległość punktu P od ładunku q1 wynosi x, z kolei od ładunku q2: l  – x. Zgodnie z wprowadzonymi oznaczeniami natężenie pola elektrycznego w punkcie P wytworzonego przez każdy z tych ładunków wynosi:

– w przypadku ładunku q1:

$$E_1 = k \hspace{.05cm} \frac{q_1}{x^2}$$

– w przypadku ładunku q2:

$$E_2 = k \hspace{.05cm} \frac{q_2}{\left( l \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x \right)^2}$$

Wiemy, że w punkcie P wypadkowe natężenie pola będącego wypadkową sumą wektorową wektorów $\vec{E}_1$  i  $\vec{E}_2$ wynosi zero, w związku z czym wektory $\vec{E}_1$  i  $\vec{E}_2$ muszą mieć jednakową wartość:

$$E_1 = E_2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} k \hspace{.05cm} \frac{q_1}{x^2} = k \hspace{.05cm} \frac{q_2}{\left( l \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x \right)^2}$$

Po skróceniu oraz przekształceniu powyższego równania, dostaniemy:

$$\left( \frac{l \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x}{x} \right)^2 = \left( \frac{l}{x} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)^2 = \frac{q_2}{q_1}$$

skąd po spierwiastkowaniu, otrzymamy:

$$\frac{l}{x} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 = \sqrt{\frac{\mathstrut q_2}{q_1}} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{l}{x} = \sqrt{\frac{\mathstrut q_2}{q_1}} + 1$$

i w efekcie:

$$x = \frac{l}{\sqrt{\dfrac{\mathstrut q_2}{q_1}} + 1}$$

Po podstawieniu do powyższego równania wartości liczbowych podanych w treści zadania oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy szukaną odległość punktu P od ładunku q1, równą:

$$x = \frac{0,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{\sqrt{\dfrac{\mathstrut 3 \cdot 10^{-5} \hspace{.05cm} \textrm{C}}{1 \cdot 10^{-5} \hspace{.05cm} \textrm{C}}} + 1} = 7,\hspace{-.1cm}3 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

Dodaj komentarz

4 komentarze

  • A.g

    Dodano dnia 26 września 2016 o godz. 20:18

    Wg mnie jest cos nie tak tzn obliczenia oki ale sam rysunek nie bardzo, bo ladunki jednakowo imienne sie odpychaja a liczac natezenie pola wprowadza sie próbny ładunek (zawsze dodatni). Zatem wektor E1 powinien mieć zwrot w przecina stronę. Tzn w dobrą jest stronę zle napisałem ale nie jest w tym punkcie zaznaczony.

    • Admin

      Dodano dnia 27 września 2016 o godz. 05:33

      Wektory możemy dowolnie przemieszczać (przy zachowaniu oczywiście ich długości). To, w którym miejscu je umieścimy, nie jest aż tak istotne – ważne żebyśmy sami się w tym nie pogubili. Dla czytelności i tym samym lepszego zobrazowania całej sytuacji opisanej w zadaniu, wektory umieściłem tak jak na rysunku.

  • Paweł

    Dodano dnia 9 sierpnia 2016 o godz. 18:15

    czy wg rysunku ładunek q1 jest mniejszy od q2?

    • Admin

      Dodano dnia 12 sierpnia 2016 o godz. 20:26

      Nie. Dla uproszczenia przyjąłem takie same rozmiary dla obydwu ładunków.