Grawitacyjna energia potencjalna – zadanie nr 5

Statek kosmiczny o masie 50 ton po wyłączeniu silników przeleciał w pobliżu Marsa. W pewnej chwili t₀  przelatywał na wysokości 500 km nad powierzchnią tej planety. Masa Marsa M_M  wynosi 6,4 ⋅ 10²³ kg, a jego promień r_M  = 3,4 ⋅ 10⁶ m. Oblicz prędkość ucieczki statku kosmicznego, czyli minimalną prędkość początkową jaką statek musiałby uzyskać na podanej wysokości, aby oddalić się z wyłączonymi silnikami na dowolnie dużą odległość od Marsa.

Prędkość ucieczki, zgodnie z treścią zadania, to minimalna prędkość z jaką musi poruszać się pewne ciało, aby mogło się ono oddalić na dowolnie dużą odległość od określonego ciała niebieskiego. W naszym przypadku wielkością szukaną jest prędkość ucieczki statku kosmicznego z Marsa, znajdującego się w odległości h  = 500 km od powierzchni tejże planety. Aby obliczyć prędkość ucieczki statku kosmicznego skorzystamy z następującego wyrażenia:

$$V = \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} M_M}{r}}$$

gdzie:
G  – stała grawitacji równa 6,67 ⋅ 10^-11 N ⋅ m²/kg²,
M_M  – masa Marsa,
r  – odległość pomiędzy środkiem Marsa a statkiem kosmicznym.

Masę Marsa podano w treści zadania, odległość r  musimy wyznaczyć. Wiemy, że r  to odległość dzieląca środek Marsa od statku kosmicznego, zatem możemy ją wyrazić jako sumę promienia Marsa r_M  (odległość od środka Marsa do jego powierzchni) oraz wysokości h, na której nad powierzchnią Marsa znajduje się statek kosmiczny. W związku z tym możemy zapisać, że:

$$r = h + r_M$$

Podstawiając powyższy wzór do wyrażenia na prędkość ucieczki V, dostaniemy:

$$V = \sqrt{\frac{\mathstrut 2 \hspace{.05cm} G \hspace{.05cm} M_M}{h + r_M}}$$

Po podstawieniu do powyższego wzoru wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy prędkość ucieczki statku kosmicznego równą:

$$V = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,\hspace{-.1cm}67 \cdot 10^{-11} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{kg}^2} \cdot 6,\hspace{-.1cm}4 \cdot 10^{23} \hspace{.05cm} \textrm{kg}}{500 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{m} + 3,\hspace{-.1cm}4 \cdot 10^6 \hspace{.05cm} \textrm{m}}} = 4679 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}$$

Bardzo często prędkość ucieczki wyraża się w kilometrach na sekundę, zatem po zamianie jednostek prędkość ta (z dokładnością do jednego miejsca po przecinku) wynosi 4,7 km/s.