Energia w ujęciu mechaniki relatywistycznej – zadanie nr 4

Podczas zderzenia cząstki promieniowania kosmicznego z pewną cząstką na wysokości H  = 80 km nad poziomem morza powstał pion (jedna z cząstek elementarnych oznaczana grecką literą pi – π) o energii całkowitej równej 3 ⋅ 10⁴ MeV. Pion porusza się pionowo w kierunku powierzchni Ziemi. Na jakiej wysokości h  nad poziomem morza względem obserwatora związanego z Ziemią nastąpił rozpad pionu, jeżeli czas życia pionu (zmierzony względem układu odniesienia pionu) wyniósł 50 ns? Energia spoczynkowa pionu jest równa 139,6 MeV.

Aby obliczyć wysokość h, na której, zdaniem obserwatora związanego z Ziemią, nastąpił rozpad pionu, musimy wiedzieć, jaką drogę w układzie obserwatora przebył pion od momentu powstania do momentu zniszczenia. Jeżeli założymy, że prędkość V  pionu jest stała, będziemy mogli skorzystać z wyrażenia na drogę w ruchu jednostajnym prostoliniowym:

$$s = V \hspace{.05cm} t$$

gdzie s, V  i t  są wielkościami zmierzonymi przez obserwatora znajdującego się na Ziemi.

Zacznijmy od zapisania relatywistycznego wzoru na energię całkowitą cząstki (w naszym przypadku pionu):

$$E = E_0 + E_k$$

Po podstawieniu do powyższej relacji wyrażeń na energię całkowitą i energię spoczynkową, otrzymamy:

$$E = m \hspace{.05cm} c^2 + m \hspace{.05cm} c^2 \left( \gamma \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = \gamma \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} c^2 = \gamma \hspace{.05cm} E_0$$

Przekształcając powyższe wyrażenie względem współczynnika Lorentza γ, dostaniemy:

$$\gamma = \frac{E}{E_0}$$

Wiedząc ile wynosi współczynnik γ  możemy obliczyć czas życia pionu t, zmierzonego przez obserwatora znajdującego się na Ziemi. W tym celu podstawmy wartość γ  do wzoru opisującego dylatację czasu:

$$t = t_0 \hspace{.05cm} \gamma = t_0 \hspace{.05cm} \frac{E}{E_0}$$

Następnie, korzystając z definicji współczynnika Lorentza, obliczmy prędkość V  pionu zarejestrowaną przez obserwatora na Ziemi:

$$\frac{1}{\sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{V^2}{c^2}}} = \frac{E}{E_0} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} V = c \hspace{.1cm} \sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{E_0^2}{E^2}}$$

Wiedząc ile wynosi czas życia oraz prędkość pionu możemy już obliczyć drogę s  przebytą przez pion w układzie obserwatora:

$$s = V \hspace{.05cm} t = c \hspace{.1cm} \sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{E_0^2}{E^2}} \cdot t_0 \hspace{.05cm} \frac{E}{E_0}$$

Po podstawieniu wartości liczbowych do powyższego wzoru oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy:

$$s = 2,\hspace{-.1cm}99 \cdot 10^8 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \cdot \sqrt{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{\left( 139,\hspace{-.1cm}6 \hspace{.05cm} \textrm{MeV} \right)^2}{\left( 3 \cdot 10^4 \hspace{.05cm} \textrm{MeV} \right)^2}} \cdot 5 \cdot 10^{-8} \hspace{.05cm} \textrm{s} \cdot \frac{3 \cdot 10^4 \hspace{.05cm} \textrm{MeV}}{139,\hspace{-.1cm}6 \hspace{.05cm} \textrm{MeV}} = 3,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{km}$$

Tak więc wysokość h, na której nastąpił rozpad pionu jest równa:

$$h = H \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} s = 80 \hspace{.05cm} \textrm{km} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 3,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{km} = 76,\hspace{-.1cm}8 \hspace{.05cm} \textrm{km}$$