Bilans cieplny – zadanie nr 5

Do naczynia wypełnionego wodą o masie m₁ i temperaturze T₁ = 30 ^oC wrzucono kawałek żelaza o masie m₂ = 0,15 kg i temperaturze T₂ = 930 ^oC, wskutek czego woda ogrzała się do temperatury T_k  = 67 ^oC. Oblicz masę m₁ wody znajdującej się w naczyniu. Ciepło właściwe wody c_w  = 4186 J/(kg ∙ ^oC), ciepło właściwe żelaza c_Fe  = 452 J/(kg ∙ ^oC).

Sytuacja opisana w treści tego zadania jest bardzo podobna do tej przedstawionej w zadaniu Bilans cieplny – zadanie nr 4. Kawałek żelaza, którego temperatura jest trzydzieści jeden razy większa od temperatury wody, tak długo będzie oddawał ciepło wodzie znajdującej się w naczyniu, aż temperatura wody i żelaza ulegnie wyrównaniu. Jeżeli potraktujemy układ woda – żelazo jako układ izolowany tj. układ nie wymieniający energii i masy z otoczeniem, wówczas ciepło Q₁ pobrane przez wodę będzie równe ze znakiem minus ciepłu Q₂ oddanemu przez żelazo:

$$Q_1 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} Q_2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} m_1 \hspace{.1cm} c_w \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.1cm} c_{Fe} \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

gdzie:
m₁ i m₂ to odpowiednio masa wody i żelaza,
c_w  i c_Fe  – ciepło właściwe wody i żelaza,
T₁ i T₂ – początkowa temperatura wody i żelaza,
T_k  – końcowa temperatura układu woda – żelazo (po wyrównaniu się temperatur).

Wielkością szukaną w zadaniu jest masa m₁ wody. Dzieląc obydwie strony powyższego równania przez  $c_w \left( T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)$ otrzymamy:

$$m_1 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{m_2 \hspace{.1cm} c_{Fe} \left(T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)}{c_w \left( T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)} = \frac{m_2 \hspace{.1cm} c_{Fe} \left(T_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_k \right)}{c_w \left( T_k \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_1 \right)}$$

skąd po podstawieniu wartości liczbowych podanych w treści zadania dostaniemy:

$$m_1 = \frac{0,\hspace{-.1cm}15 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 452 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} \cdot \left( 930 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 67 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right)}{4186 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{J}}{\textrm{kg}} \cdot \left( 67 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 30 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right)} = \frac{58511,\hspace{-.1cm}4 \hspace{.1cm} \textrm{J}}{154882 \hspace{.1cm} \textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} = 0,\hspace{-.1cm}38 \hspace{.05cm} \textrm{kg}$$